1. 函数解析题（文科）

已知函数 $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & x \leq 1 \\\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases}$

（1）求函数 $f(x)$ 的最小值；

（2）证明：对任意 $x \in R$，不等式 $f(x) < x^2$ 成立。

解析：

（1）函数 $f(x)$ 的最小值出现在 $x = 1$ 时，最小值为 $f(1) = 0$。

（2）当 $x \leq 1$ 时，$f(x) = x^2 - 1 < x^2$；当 $x > 1$ 时，$f(x) = 2x - 1 < 2x = x^2$。所以，对任意 $x \in R$，不等式 $f(x) < x^2$ 成立。

2. 平面几何题（理科）

在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 4$，$AC = 5$，$BC = 6$。点 $P$ 为 $AC$ 边上的动点，且 $AP = 2$。过点 $P$ 作 $BC$ 的垂线，垂足为点 $H$。

（1）求 $PH$ 的长度；

（2）当 $\triangle BPH$ 的面积取得最小值时，求 $PH$ 的长度。

解析：

（1）利用勾股定理，$PH^2 = AP^2 - AH^2 = 2^2 - (AC - AH)^2$。利用韦达定理，$AC - AH = BC - BH = 2$。所以，$PH^2 = 2^2 - 2^2 = 0$，$PH = 0$。

（2）当 $\triangle BPH$ 的面积取得最小值时，$BH$ 取得最大值。利用勾股定理，$BH^2 = BC^2 - PH^2 = 6^2 - 0^2 = 36$，$BH = 6$。所以，当 $PH = 0$ 时，$\triangle BPH$ 的面积取得最小值为 $0$。