罗尔中值定理

如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，则存在一点 c∈(a, b)，使得：

```

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

```

几何解释

罗尔中值定理可以形象地用函数图象来解释。在闭区间 [a, b] 上，函数 f(x) 的图象是一条连续的曲线。如果函数在 (a, b) 内可导，则这条曲线在 (a, b) 内是光滑的。

根据罗尔中值定理，在 (a, b) 内必存在一点 c，使得切线在点 (c, f(c)) 处的斜率等于曲线在 [a, b] 上的平均斜率。也就是函数在点 c 处的瞬时变化率等于函数在区间 [a, b] 上的平均变化率。

应用

罗尔中值定理在数学分析中有着广泛的应用，例如：

求函数极值

证明其他定理，如拉格朗日中值定理和柯西中值定理

确定函数单调性的区间

例题

求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + x 在区间 [-1, 2] 上的极值。

解

1. 判断连续性和可导性

f(x) 在实数集上连续且可导。因此，f(x) 在 [-1, 2] 上连续且可导。

2. 求导数

f'(x) = 3x^2 - 4x + 1

3. 求临界点

f'(x) = 0 得到 x = 1/3, 2。

4. 利用罗尔中值定理

由于 f'(x) 在开区间 (-1, 2) 内连续，且 f'(1/3) = 0，f'(2) = 5，根据罗尔中值定理，在 (1/3, 2) 内存在一点 c，使得 f'(c) = (5 - 0) / (2 - 1/3) = 3。

5. 求极值

c = 3/2 时，f(3/2) = (3/2)^3 - 2(3/2)^2 + (3/2) = -1/4。

因此，函数 f(x) 在区间 [-1, 2] 上的极值为：

极大值：f(2) = 2

极小值：f(3/2) = -1/4