黎曼函数，由德国数学家伯恩哈德·黎曼于1859年提出，被认为是数论皇冠上的明珠。它表示为ζ(s)，其中s是一个复数变量。

## 优雅的公式

黎曼函数的公式非常简洁，却无比优美：

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ζ(s) = ∑(n=1)^∞ 1/n^s

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这个公式表示，黎曼函数是对所有自然数的倒数的s次幂之和。

## 神秘的性质

黎曼函数的神秘之处在于，它与数论中许多重要的概念相关，例如素数分布、解析延拓和zeta函数的零点分布。

素数分布：黎曼函数与素数有着密切的关系。它的奇数次导数的零点对应着素数的倒数。

解析延拓：黎曼函数最初只定义在实数域上。但令人惊讶的是，它可以解析延拓到整个复平面，除了s=1处的简单极点。

zeta函数的零点：黎曼函数的零点分布与zeta函数的零点分布密切相关。这被称为黎曼猜想，是当今数学面临的最重要未解决问题之一。

## 黎曼函数的应用

黎曼函数在数学和物理学等领域有着广泛的应用，包括：

数论：素数分配、素数定理

解析数论：解析延拓、复分析

物理学：弦论、量子场论