柯西问题通常用如下形式表示：

$$\frac{\partial u}{\partial t} + a \frac{\partial u}{\partial x} = 0, \quad x\in \Omega,\quad t>0$$

其中，u(x, t) 是未知函数，a 是常数，\(\Omega\) 是空间区域。给定初始条件：

$$u(x, 0) = f(x), \quad x\in \Omega$$

柯西问题就是要求解满足上述偏微分方程和初始条件的函数 u(x, t)。

柯西问题的存在性、唯一性和稳定性是数学家们长期以来一直关注的问题。柯西问题的存在性和唯一性由柯西-利普希茨定理保证。柯西问题解的稳定性则由李普希茨连续性保证。

柯西问题的求解方法有很多，常见的有：分离变量法、傅里叶级数法、拉普拉斯变换法、特征线法等。